Discrete Mathematics HW1 Q21

離散數學作業一 Q21

題目：

解法

1. 根據第一句話，因為 $xy$ 不能得出 $(x, y)$，代表有多組 $(\alpha_i, \beta_i)$ 滿足 $\alpha_i \cdot \beta_i = xy$，也就是：$$ \exists (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2), \ldots, (\alpha_n, \beta_n) : \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1 \cdot \beta_1 = xy, \ \alpha_2 \cdot \beta_2 = xy, \ \dots , \ \alpha_n \cdot \beta_n = xy \end{array} , n > 1\right\} $$
2. 因為 Sam 早就知道 Peter 無法利用 $xy$ 得知 $(x, y)$，代表同樣有多組 $(\alpha_i, \beta_i)$ 滿足 $\alpha_i + \beta_i = x + y$，也就是：$$ \exists (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2), \ldots, (\alpha_n, \beta_n) : \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1 + \beta_1 = x + y, \ \alpha_2 + \beta_2 = x + y, \ \dots , \ \alpha_n + \beta_n = x + y \end{array} , n > 1\right\} $$
3. 根據 1.，我們可以知道當 $x, y$ 都是質數時，$xy$ 一定有唯一解 $(x, y)$
4. 根據 2.、3.，代表所有滿足 $\alpha_i, \beta_i = x + y$ 的解中，$\nexists (\alpha_i, \beta_i)$ 滿足 $\alpha_i, \beta_i$ 同時為質數
5. 根據 4. 中提到，兩個質數相加後的值必定不是 $x + y$ 的結論，我們可以將 $x + y$ 可能的值限縮到：$S = \left\{ 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65\right\}$（以上還有其他性質可以再進一步限縮範圍，但這邊其實已經夠少了）
6. 以上是前兩句話結束後可以得出的結論，而 Peter 依據以上條件就可以得到真正的 $(x, y)$ ，代表：$\forall (\alpha_i, \beta_i): \alpha_i \cdot \beta_i = xy$，$\nexists$ 任意兩組可能的 $(\alpha_i, \beta_i), (\alpha_j, \beta_j)$ 滿足 $\alpha_i + \beta_i, \alpha_j + \beta_j$ 各自對應到 $S$ 中的不同元素
7. 根據 6. 枚舉可能，可以得到一組合法的解 $(x, y) = (4, 13)$

備註

• 筆者對於數學符號的運用還不是很熟練，如果有更好的方式或表達方式，歡迎提出建議！